எளிதாக கணக்கு பண்ணுவது எப்படி?

‘சுட்டாரா’ பிதாகரஸ்? - கடந்தவார கட்டுரை சிறிதாக ஒரு சலசலப்பை ஏற்படுத்தியிருந்ததை அறியமுடிந்தது. ‘ஆணித்தரமான ஆதாரங்களுடன் அடுத்தவாரம்...’ என்று கட்டுரையை முடித்திருந்தோம். சஸ்பென்ஸ் ஒரு வாரத்துக்கு தாங்காது என்று நினைத்தார்களோ, என்னவோ... நிறைய வாட்ஸ் அப் குரூப் நண்பர்கள், தேடிப் பிடித்து, படித்து ‘ஆணித்தர ஆதாரங்களை’ அட்வான்ஸ் ரிலீஸ் செய்திருந்தார்கள். நமது தொடர் ஏற்படுத்துகிற தாக்கம், மகிழ்ச்சியே. சில நண்பர்கள் கேள்விக்குறி எழுப்பி வழக்கு தொடுத்திருந்தார்கள். ‘‘பிதாகரஸ் காலம் கிமு 569 - 475. அதுக்கும் முன்னாடியே தமிழில் அப்படி யார் சார் சொல்லி இருக்காங்க? ஆதாரம் காட்டுங்க...’’

பாட்டாவே பாடீட்டாரா?

பிதாகரஸ் தேற்றம், ஞாபகப்படுத்திக் கொள்வதற்காக, மீண்டும் ஒருமுறை: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணத்தின் வர்க்கம் அதன் பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம். அதாவது, A² + B² = C². கிரேக்க நாட்டு சார் கிமு 500ம் ஆண்டுகளில் இப்படி தியரி வகுத்துச் சென்றிருக்கிறார்.

இதே மேட்டரை, இன்னும் செம ஈஸியாக, பிதாகரஸ் சாருக்கு ரொம்ப காலம் முன்பாகவே, நம்ம தமிழ் பொலவர் பாட்டாகவே பாடி வைத்திருக்கிறார். அந்தப் பாடல்:

‘‘ஓடும் நீளம் தனை ஒரெட்டுக்
கூறு ஆக்கி கூறிலே ஒன்றைத்
தள்ளி குன்றத்தில் பாதியாய்ச் சேர்த்தால்
வருவது கர்ணம்தானே...’’

கிமு 2 ஆயிரம் ஆண்டு காலத்தைச் சேர்ந்த போதையனார் (புதையனார் என்றும் கூட சொல்கிறார்கள்) என்கிற தமிழ் புலவரின் கணித சூத்திர பாடல் இது. பிதாகரஸ் பார்முலா படி விடை கண்டுபிடிக்க திணறும் மாணவர்களுக்கு, போதையனாரின் சூத்திரம், படு சுலபமான ஷார்ட் கட் மெத்தட். எப்படி?

சபாஷ்... சரியான போட்டி!

ஒரு கணக்குப் போட்டு, ரெண்டு பேரையும் டெஸ்ட் பண்ணிப் பார்த்திடலாமா? முதலில் பிதாகரஸ்...
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் (C) வர்க்கம் அதன் பக்கங்களின் (A, B) வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் ( A² + B² = C²).
செங்கோண முக்கோணத்தில் A = 12, B = 16. எனில், Cயின் மதிப்பை கண்டுபிடிக்கலாம் வாங்க.
பிதாகரஸ் பார்முலா: A² + B² = C².
*  12² + 16²
*  144 + 256 = 400
*  400ன் வர்க்க மூலம் (Square root) 20.
ஆக, C = 20. செங்கோண முக்கோணத்தில், கர்ணத்தின் மதிப்பு 20 என்பதை பிதாகரஸ் கண்டுபிடித்துக் கொடுத்து விட்டார். போதையனார் என்ன செய்யப் போகிறார்?

இனி போதையனார்... அவர் பாடலை ஞாபகப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்.
*  ஓடும் நீளம் தனை - A, B ஆகிய இரு அளவுகளில் எது பெரியதோ, அதை (A = 12, B = 16. இங்கு பெரிய மதிப்பு B), அதாவது 16ஐ,
*  ஒரெட்டுக் கூறு ஆக்கி - அதை (16ஐ) எட்டு பாகங்களாக பிரித்து (2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2)
*  கூறிலே ஒன்றைத் தள்ளி - அந்த எட்டு பாகத்தில் இருந்து ஒரு பாகத்தை கழித்து (16 - 2 = 14)
*  குன்றத்தில் பாதியாய்ச் சேர்த்தால் - (குன்றம் என்பது செங்கோண முக்கோணத்தின் மற்றொரு பக்கம். அதாவது A. இங்கு Aயின் மதிப்பு 12. இதில் பாதி 6. இந்தப் பாதியையும் (6), ஏற்கனவே கிடைத்த 14ஐயும் சேர்த்தால்)
*  வருவது கர்ணம்தானே - 6 + 14  = ? 20 தானே? வந்திடுச்சா ஆன்ஸர்?

பிதாகரஸ் பார்முலா படி வர்க்கம், வர்க்க மூலம் என்றெல்லாம் தலைமுடியைப் பிய்த்துக் கொள்ளாமல், எவ்வளவு சுலபமாக, மனக்கணக்காகவே முடிக்கிற மாதிரி, செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ண பக்கத்தின் மதிப்பை போதையனார் கச்சிதமாக கேட்ச் பண்ணுகிறார் பாருங்கள்! செம ஈஸிதானே? இப்படி படித்தால் கணக்கு கிளாஸை கட் அடிக்கத் தேவையிருக்காதுதானே? இன்னும் பெரிய மதிப்புள்ள எண்களுடன் போதையனார் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்குப் போட்டுப் பாருங்கள். அசந்து போவீர்கள் அசந்து!

கோபுரம் எப்பிடி கட்டுனாங்க?

சரி. போதையனார் காலத்தில் இந்த கணித சூத்திரங்கள் வைத்து அப்படி என்ன கால்குலேஷன் போட்டிருப்பார்கள்? நியாயமாக வரக்கூடிய சந்தேகம்தான். பழந்தமிழர் காலத்து விண்ணை முட்டுகிற கோயில் கோபுரங்கள், கட்டிட வேலைப்பாடுகளைப் பார்த்து இன்றைக்கு வாய் பிளக்கிறோம் இல்லையா? இதையெல்லாம் எப்படித்தான் கட்டினாங்களோ... என்று மெய்சிலிர்க்கிறோம் இல்லையா? விஷயம் சிம்பிள். போதையனார் போல இன்னும் நிறைய தமிழ் கணித மேதைகள் வகுத்துத் தந்திருக்கிற கணித கட்டமைப்புகளின் படியே, இந்த கோபுரங்கள் எழுப்பப்பட்டிருக்கின்றன. பெரிய மலைகள், குன்றுகளின் உயரங்கள் கணக்கிடப்பட்டிருக்கின்றன. போதையனார் போல, அறியப்படாத தமிழ் ஜாம்பவான்கள் லட்சக்கணக்கில் இருக்கிறார்கள். அவர்களது நிருபணங்களை கண்டறிந்து உலகின் கவனத்துக்குக் கொண்டு செல்வதன் மூலம், தமிழ் / தமிழரின் பழம் பாரம்பரியப் பெருமைகளை அனைவரும் அறியச் செய்யலாம். குறைந்தப்பட்சம், நமது பசங்க... குழப்பமில்லாமல், ஈஸியாக கணக்குப் படிக்கவாவது வழி ஏற்படுத்தித் தரலாம். செய்யலாமா?

- திருமங்கலம் எஸ்.கிருஷ்ணகுமார் -