திங்கள், 18 ஜனவரி, 2016

எளிதாக கணக்கு பண்ணுவது எப்படி?

‘சுட்டாரா’ பிதாகரஸ்? - கடந்தவார கட்டுரை சிறிதாக ஒரு சலசலப்பை ஏற்படுத்தியிருந்ததை அறியமுடிந்தது. ‘ஆணித்தரமான ஆதாரங்களுடன் அடுத்தவாரம்...’ என்று கட்டுரையை முடித்திருந்தோம். சஸ்பென்ஸ் ஒரு வாரத்துக்கு தாங்காது என்று நினைத்தார்களோ, என்னவோ... நிறைய வாட்ஸ் அப் குரூப் நண்பர்கள், தேடிப் பிடித்து, படித்து ‘ஆணித்தர ஆதாரங்களை’ அட்வான்ஸ் ரிலீஸ் செய்திருந்தார்கள். நமது தொடர் ஏற்படுத்துகிற தாக்கம், மகிழ்ச்சியே. சில நண்பர்கள் கேள்விக்குறி எழுப்பி வழக்கு தொடுத்திருந்தார்கள். ‘‘பிதாகரஸ் காலம் கிமு 569 - 475. அதுக்கும் முன்னாடியே தமிழில் அப்படி யார் சார் சொல்லி இருக்காங்க? ஆதாரம் காட்டுங்க...’’


பாட்டாவே பாடீட்டாரா?

பிதாகரஸ் தேற்றம், ஞாபகப்படுத்திக் கொள்வதற்காக, மீண்டும் ஒருமுறை: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணத்தின் வர்க்கம் அதன் பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம். அதாவது, A² + B² = C². கிரேக்க நாட்டு சார் கிமு 500ம் ஆண்டுகளில் இப்படி தியரி வகுத்துச் சென்றிருக்கிறார்.

தே மேட்டரை, இன்னும் செம ஈஸியாக, பிதாகரஸ் சாருக்கு ரொம்ப காலம் முன்பாகவே, நம்ம தமிழ் பொலவர் பாட்டாகவே பாடி வைத்திருக்கிறார். அந்தப் பாடல்:

‘‘ஓடும் நீளம் தனை ஒரெட்டுக்
கூறு ஆக்கி கூறிலே ஒன்றைத்
தள்ளி குன்றத்தில் பாதியாய்ச் சேர்த்தால்
வருவது கர்ணம்தானே...’’

கிமு 2 ஆயிரம் ஆண்டு காலத்தைச் சேர்ந்த போதையனார் (புதையனார் என்றும் கூட சொல்கிறார்கள்) என்கிற தமிழ் புலவரின் கணித சூத்திர பாடல் இது. பிதாகரஸ் பார்முலா படி விடை கண்டுபிடிக்க திணறும் மாணவர்களுக்கு, போதையனாரின் சூத்திரம், படு சுலபமான ஷார்ட் கட் மெத்தட். எப்படி?

சபாஷ்... சரியான போட்டி!

ரு கணக்குப் போட்டு, ரெண்டு பேரையும் டெஸ்ட் பண்ணிப் பார்த்திடலாமா? முதலில் பிதாகரஸ்...
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் (C) வர்க்கம் அதன் பக்கங்களின் (A, B) வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் ( A² + B² = C²).
செங்கோண முக்கோணத்தில் A = 12, B = 16. எனில், Cயின் மதிப்பை கண்டுபிடிக்கலாம் வாங்க.
பிதாகரஸ் பார்முலா: A² + B² = C².
12² + 16²
*  144 + 256 = 400
*  400ன் வர்க்க மூலம் (Square root) 20.
ஆக, C = 20. செங்கோண முக்கோணத்தில், கர்ணத்தின் மதிப்பு 20 என்பதை பிதாகரஸ் கண்டுபிடித்துக் கொடுத்து விட்டார். போதையனார் என்ன செய்யப் போகிறார்?

இனி போதையனார்... அவர் பாடலை ஞாபகப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்.
*  ஓடும் நீளம் தனை - A, B ஆகிய இரு அளவுகளில் எது பெரியதோ, அதை (A = 12, B = 16. இங்கு பெரிய மதிப்பு B), அதாவது 16ஐ,
*  ஒரெட்டுக் கூறு ஆக்கி - அதை (16ஐ) எட்டு பாகங்களாக பிரித்து (2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2)
*  கூறிலே ஒன்றைத் தள்ளி - அந்த எட்டு பாகத்தில் இருந்து ஒரு பாகத்தை கழித்து (16 - 2 = 14)
*  குன்றத்தில் பாதியாய்ச் சேர்த்தால் - (குன்றம் என்பது செங்கோண முக்கோணத்தின் மற்றொரு பக்கம். அதாவது A. இங்கு Aயின் மதிப்பு 12. இதில் பாதி 6. இந்தப் பாதியையும் (6), ஏற்கனவே கிடைத்த 14ஐயும் சேர்த்தால்)
*  வருவது கர்ணம்தானே - 6 + 14  = ? 20 தானே? வந்திடுச்சா ஆன்ஸர்?


பிதாகரஸ் பார்முலா படி வர்க்கம், வர்க்க மூலம் என்றெல்லாம் தலைமுடியைப் பிய்த்துக் கொள்ளாமல், எவ்வளவு சுலபமாக, மனக்கணக்காகவே முடிக்கிற மாதிரி, செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ண பக்கத்தின் மதிப்பை போதையனார் கச்சிதமாக கேட்ச் பண்ணுகிறார் பாருங்கள்! செம ஈஸிதானே? இப்படி படித்தால் கணக்கு கிளாஸை கட் அடிக்கத் தேவையிருக்காதுதானே? இன்னும் பெரிய மதிப்புள்ள எண்களுடன் போதையனார் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்குப் போட்டுப் பாருங்கள். அசந்து போவீர்கள் அசந்து!


கோபுரம் எப்பிடி கட்டுனாங்க?


ரி. போதையனார் காலத்தில் இந்த கணித சூத்திரங்கள் வைத்து அப்படி என்ன கால்குலேஷன் போட்டிருப்பார்கள்? நியாயமாக வரக்கூடிய சந்தேகம்தான். பழந்தமிழர் காலத்து விண்ணை முட்டுகிற கோயில் கோபுரங்கள், கட்டிட வேலைப்பாடுகளைப் பார்த்து இன்றைக்கு வாய் பிளக்கிறோம் இல்லையா? இதையெல்லாம் எப்படித்தான் கட்டினாங்களோ... என்று மெய்சிலிர்க்கிறோம் இல்லையா? விஷயம் சிம்பிள். போதையனார் போல இன்னும் நிறைய தமிழ் கணித மேதைகள் வகுத்துத் தந்திருக்கிற கணித கட்டமைப்புகளின் படியே, இந்த கோபுரங்கள் எழுப்பப்பட்டிருக்கின்றன. பெரிய மலைகள், குன்றுகளின் உயரங்கள் கணக்கிடப்பட்டிருக்கின்றன. போதையனார் போல, அறியப்படாத தமிழ் ஜாம்பவான்கள் லட்சக்கணக்கில் இருக்கிறார்கள். அவர்களது நிருபணங்களை கண்டறிந்து உலகின் கவனத்துக்குக் கொண்டு செல்வதன் மூலம், தமிழ் / தமிழரின் பழம் பாரம்பரியப் பெருமைகளை அனைவரும் அறியச் செய்யலாம். குறைந்தப்பட்சம், நமது பசங்க... குழப்பமில்லாமல், ஈஸியாக கணக்குப் படிக்கவாவது வழி ஏற்படுத்தித் தரலாம். செய்யலாமா?

- திருமங்கலம் எஸ்.கிருஷ்ணகுமார் -

4 கருத்துகள்:

  1. இப்படி ஒரு பதிவு பகிர்ந்து கொண்டு நீங்கள் தான் அசத்தி விட்டீர்கள்... நன்றிகள்...

    பதிலளிநீக்கு
  2. இது எல்லா நேரத்திலும் சரியாக இருக்காது. உதாரணத்திற்கு
    சிறிய பக்கம் ஏழு பெரிய பக்கம் எட்டு என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
    பித்தகோரஸ் படி கர்ணம் 10.63014581 வருகிறது. போதையனர் படி 7+3.5 = 10.5 வருகிறது.
    7 ன் வர்க்கம் 49. 8 ன் வர்க்கம் 64 மொத்தம் 113. இதன் வர்க்க மூலம் 10.63014581 .

    பதிலளிநீக்கு
  3. பிதாகரஸ் வர்க்க மூலம் தான் சரி. போதையனார் கூறியதுபடி வர்க்க மூலம் சரியான விடை பல முறை கிடைக்காது (விடை: approximate தான்)

    செங்கோண முக்கோண பக்கங்கள் (கர்ணம் உட்பட) முழு எண்களாக வருபவை:
    3,4,5 5,12,13 7,24,25 8,15,17 9,40,41 இப்படி நிறைய உண்டு.
    இவற்றில் முதலிரண்டுக்கு மட்டும் சரியான விடை போதையனார் படி விடை வரும். (இந்த எண்களின் multiples கூட பொருந்தும்). மற்றவைகளுக்கு சரியான விடை கிடைக்காது. பதிவு வெளியிடுவதற்கு முன் இவற்றை சரிபார்த்திருக்க வேண்டும்.

    பதிலளிநீக்கு
  4. "போதையனார் தேற்றம்" எனும் மாயை

    சமீப நாட்களாக இணையத்தில் உலாவரும் தமிழின் பெருமைகளைப் பேசும் மின்னஞ்சல்களில்/பதிவுகளில் ஒன்று "போதையனார் தேற்றம்" பற்றியது. "போதையனார் தேற்றத்தின்" சிறப்பம்சம் வர்க்கமூலம்(√) இல்லாமலேயே செம்பக்கத்தினை/கர்ணத்தினை கணிக்க முடிகின்றது என நீளுகின்றது அத்தகவல். ஆனால், இங்கே தமிழ் மொழியின் மீதான பற்றினைப் பயன்படுத்தித் தவறான அல்லது மிகைப்படுத்தப்பட்ட தகவல் வழங்கப்படுகின்றது என்பதே உண்மை.

    இந்த தகவலின் உண்மைத் தன்மையை அறிய கவனிக்கப்பட வேண்டியவை வருமாறு:
    1. இங்கே கணிதவியலின் தர்க்க ரீதியிலான நிறுவுதல்கள் எதுவுமின்றி "தேற்றம்" என்று ஒன்று சொல்லப்படுகின்றது. அடிப்படையில் இங்கே குறிப்பிடப்படும் "தேற்றம்" எனும் சொல், அதன் அர்த்தத்தத்தினை இழந்து நிற்கின்றது.
    2. உதாரணம் ஒன்றினை மட்டும் அடிப்படையாக வைத்து எந்த கணித சமன்பாட்டினையும்/கூற்றினையும் தேற்றம் என்று கூற முடியாது.
    3. ஒரு தேற்றமானது சகல பொருத்தமான தரவுகளிட்கும் உண்மையாக இருத்தல் வேண்டும்.


    இப்போது "போதையனார் தேற்றம்" என்ன சொல்ல விளைகின்றது என்று பார்ப்போம்.

    "ஓடும் நீளம் தனை ஒரே எட்டுக்
    கூறு ஆக்கி கூறிலே ஒன்றைத்
    தள்ளி குன்றத்தில் பாதியாய்ச் சேர்த்தால்
    வருவது கர்ணம் தானே"

    இதற்குக் கொடுக்கப்படும் பொழிப்புரை வருமாறு:
    ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில்:
    கர்ணம் = செம்பக்கம் (செங்கோண முக்கோணத்தில் செங்கோணத்திட்கு எதிர அமைந்துள்ள மிக நீண்ட நீளமுடைய பக்கம்)
    ஓடும் நீளம் = செம்பக்கத்திட்கு அடுத்ததாக நீளமாயுள்ள பக்கம்
    குன்றம் = முக்கோணத்தின் மிகச்சிறிய நீளமுடைய பக்கம்


    தரப்பட்டுள்ள உதாரணத்தின்படி பக்க நீளங்கள் (3, 4, 5) கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தில்:
    ஓடும் நீளம், a = 4
    குன்றம், b = 3

    "போதையனார் தேற்றத்தின்படி",
    c= (a - a/8) + (b/2)
    = 4-(4/8) + (3/2)
    = 5
    கர்ணம், c= 5.

    இந்த ஒரு உதாரணத்தை (அல்லது இவ்விலக்கங்களின் மடங்குகளான (6,8,10), (9,12,15) போன்ற எண்கூட்டங்களை) மட்டும்அடிப்படையாகக்கொண்டு இதனைத் தேற்றமென்று கூறப்படுகின்றது.


    இப்போது "போதையனார் தேற்றத்தின்" உண்மைத்தன்மையினை மற்றைய பைதகரஸ் எண் கூட்டங்களிட்கும் பார்ப்போம்.


    (5,12,13)

    ஓடும் நீளம், a = 12
    குன்றம், b = 5

    "போதையனார் தேற்றத்தின்படி"
    c= (a - a/8) + (b/2)
    = 12-(12/8) + (5/2)
    = 13
    கர்ணம், c= 13.

    இந்த உதாரணமும் சரி வருகின்றது.


    (7,24,25)

    ஓடும் நீளம், a = 24
    குன்றம், b = 7

    "போதையனார் தேற்றத்தின்படி",
    c= (a - a/8) + (b/2)
    = 24-(24/8) + (7/2)
    = 24.5
    கர்ணம், c= 24.5 ≠ 25.

    இங்கே "போதையனார் தேற்றம்" தடுமாற ஆரம்பிக்கின்றது.


    (8,15,17)

    ஓடும் நீளம், a = 15
    குன்றம், b = 8

    "போதையனார் தேற்றத்தின்படி",
    c= (a - a/8) + (b/2)
    = 15-(15/8) + (8/2)
    = 17.125
    கர்ணம், c= 17.125 ≠ 17.

    இதற்கப்பால் எல்லாமே தப்பான முடிவுகள்தான். அதனைவிட கர்ணமானது ஓடும்நீளத்தினை விட சிறிதான இலக்கமாக வருவதும் குறிப்பிடத்தக்கது.


    (9,40,41)
    "போதையனார் தேற்றத்தின்படி",
    கர்ணம், c= 39.5 ≠ 41 (அத்துடன் 39.5 < 40).


    (11,60,61)
    "போதையனார் தேற்றத்தின்படி",
    கர்ணம், c= 58 ≠ 61 (அத்துடன் 58 < 60).


    (12,35,37)
    "போதையனார் தேற்றத்தின்படி",
    கர்ணம், c= 36.625 ≠ 37.


    (13,84,85)
    "போதையனார் தேற்றத்தின்படி",
    கர்ணம், c= 80 ≠ 85 (அத்துடன் 80 < 84).

    இப்படியே (15,112,113), (16,63,65), (17,144,145), (19,180,181), (20,21,29), (20,99,101), (21,220,221), (23,264,265), ...... போன்ற இலக்கங்களுக்கும் தொடர்கின்றது துல்லியமற்ற முடிவுகள். ஆக மொத்தத்தில் போதையனார் கூறியது இரண்டு சந்தர்ப்பங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும் ஒரு கூற்று. "தேற்றம்" கிடையாது. ஆக மொத்தத்தில் ஒரு செம்பக்க முக்கோணத்திற்கு பைதகரஸ் தேற்றத்திற்கு பதிலாக "போதையனார் தேற்றத்தினை"ப் பயன்படுத்தினால் பெறப்படும் விடைகளானது மேற்குறிப்பிட்ட இரண்டு சந்தர்ப்பக்கங்கள் (3,4,5), (5,12,13) (அல்லது அவற்றின் மடங்குகள்) தவிர்ந்த அனைத்து சந்தர்ப்பங்களிலும் துல்லியமற்ற முடிவுகளாகவே இருக்கும்

    பதிலளிநீக்கு

தொடர்புடைய பதிவுகள்

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...